2018衡水市中考数学冲刺试题【解析版含答案】

2016-09-12 数学点击：

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2018衡水市中考数学冲刺试题

一、选择题（本大题共16个小题，1-10题每个小题3分，11-16题，每个小题2分，共42分）

1．10月26日，眉山市2东坡区实验中学全体师生在操场隆重集会，举行“2015年读书月活动”．张萌调查了她所在班级5名同学一周内的累计读书时间，分别为：40分钟、45分钟、50分钟、40分钟、60分钟，则该组数据的平均数、中位数分别是（　　）

A．47，45 B．45，45 C．40，45 D．47，45

2．某树苗培育基地培育了1000棵银杏树苗，为了解树苗的长势，测量了6棵树苗的高（单位：cm），其分别为51，48，51，49，52，49，则这1000棵树苗的方差的估计值为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．3

3．将方程3x2﹣x=﹣2（x+1）2化成一般形式后，一次项系数为（　　）

A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3

4．（衡水中考数学）芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后的图形（实线部分）如图所示，将该图形补充四个边长为10cm的小正方形后，得到一个矩形，已知矩形的面积为2000cm2，根据图中信息，可得x的值为（　　）

A．10 B．20 C．25 D．30

5．如图，已知△ABC与△DEF分别是等边三角形和等腰直角三角形，AD与FC分别是△ABC和△DEF的高，AC与DF交于点G，BC，DE在同一条直线上，则下列说法不正确的是（　　）

A．△AGD∽△CGF B．△AGD∽△DGC

C． =3 D． =

6．如图，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐标系中，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）．若矩形ABCD和矩形EFGO是位似图形，点P（点P在GC上）是位似中心，则点P的坐标为（　　）

A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5）

7．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα=，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（　　）

A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm

8．（衡水中考数学）若点M（﹣3，a），N（4，﹣6）在同一个反比例函数的图象上，则a的值为（　　）

A．8 B．﹣8 C．﹣7 D．5

9．如图，在正方形ABCD中，AB=2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，点E在BC的延长线上，则阴影部分的面积为（　　）

A．6π﹣4 B．6π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8

10．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=25°，∠C=90°，∠ADC=115°，O为AB的中点，以点O为圆心、AO长为半径作圆，恰好使得点D在⊙O上，连接OD，若∠EAD=25°，下列说法中不正确的是（　　）

A．D是劣弧的中点 B．CD是⊙O的切线

C．AE∥OD D．∠OBC=120°

11．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是（　　）

A．y=x2﹣1 B．y=x2+6x+5 C．y=x2+4x+4 D．y=x2+8x+17

12．已知关于x的方程ax2+bx+c=0（a＞0，b＞0）有两个不相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

13．现有五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆的五个图形的卡片，它们的背面相同，小梅将它们的背面朝上，从中任意抽出一张，下列说法中正确的是（　　）

A．“抽出的图形是中心对称图形”属于必然事件

B．“抽出的图形是六边形”属于随机事件

C．抽出的图形为四边形的概率是

D．抽出的图形为轴对称图形的概率是

14．（衡水中考数学）2015年4月30日，苏州吴江蚕种全部发放完毕，共计发放蚕种6460张（每张上的蚕卵有200粒左右），涉及6个镇，各镇随即开始孵化蚕种，小李所记录的蚕种孵化情况如表所示，则可以估计蚕种孵化成功的概率为（　　）

累计蚕种孵化总数/粒	200	400	600	800	1000	1200	1400
孵化成功数/粒	181	362	541	718	905	1077	1263

A．0.95 B．0.9 C．0.85 D．0.8

15．下列图形或几何体中，投影可能是线段的是（　　）

A．正方形 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱

16．下列四个几何体中，左视图为圆的是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

17．在力F（N）的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s（m），力F所做的功W（J）满足：W=Fs，当W为定值时，F=50N，s=40m，若F由50N减小25N时，并且在所做的功不变的情况下，s的值应　　　　　　．

18．现有一个正六边形的纸片，该纸片的边长为20cm，张萌想用一张圆形纸片将该正六边形纸片完全覆盖住，则圆形纸片的直径不能小于　　　　　　cm．

19．小峰家要在一面长为38m的墙的一侧修建4个同样大小的猪圈，并在如图所示的5处各留1.5m宽的门，已知现有的材料共可修建长为41m的墙体，则能修建的4个猪圈的最大面积为　　　　　　．

20．（衡水中考数学）某圆锥的侧面展开图是一个半径为4cm的半圆，则该圆锥的底面半径为　　　　　　．

三、解答题（本大题共6个小题，共66分）

21．按要求完成下列各小题．

（1）计算：tan230°+tan60°﹣sin245°；

（2）请你画出如图所示的几何体的三视图．

22．如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中，且AD∥x轴，点A的坐标为（﹣4，1），点D的坐标为（0，1），点B，P都在反比例函数y=的图象上，且P时动点，连接OP，CP．

（1）求反比例函数y=的函数表达式；

（2）当点P的纵坐标为时，判断△OCP的面积与正方形ABCD的面积的大小关系．

23．现有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，2，5，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字3，﹣5，﹣7；小宇从甲袋中随机摸出一个小球，记下数字为m，小惠从乙袋中随机摸出一个小球，记下的数字为n．

（1）若点Q的坐标为（m，n），求点Q在第四象限的概率；

（2）已知关于x的一元二次方程2x2+mx+n=0，求该方程有实数根的概率．

24．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC，交⊙O于点D，交AC于点E，连接BD，BD交AC于点F，延长AC到点P，连接PB．

（1）若PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；

（2）如果AB=10，cos∠ABC=，求CE的长度．

25．已知在△ABC中，∠BAC=90°，过点C的直线EF∥AB，D是BC上一点，连接AD，过点D分别作GD⊥AD，HD⊥BC，交EF和AC于点G，H，连接AG．

（1）当∠ACB=30°时，如图1所示．

①求证：△GCD∽△AHD；

②试判断AD与DG之间的数量关系，并说明理由；

（2）当tan∠ACB=时，如图2所示，请你直接写出AD与DG之间的数量关系．

26．如图，抛物线y=ax2+2x﹣6与x轴交于点A（﹣6，0），B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线BD与抛物线交于点D，点D与点C关于该抛物线的对称轴对称．

（1）连接CD，求抛物线的表达式和线段CD的长度；

（2）在线段BD下方的抛物线上有一点P，过点P作PM∥x轴，PN∥y轴，分别交BD于点M，N．当△MPN的面积最大时，求点P的坐标．

衡水中考数学参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共16个小题，1-10题每个小题3分，11-16题，每个小题2分，共42分）

A．47，45 B．45，45 C．40，45 D．47，45

【考点】中位数；算术平均数．

【分析】根据中位数和平均数的概念求解．

【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：40，40，45，50，60，

则平均数为： =47，

中位数为：45．

故选A．

A．1 B．1.5 C．2 D．3

【考点】方差．

【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式即可得出答案．

【解答】解：平均数为：（51+48+51+49+52+49）÷6=50，

所以方差为： =2，

故选C

3（衡水中考数学）．将方程3x2﹣x=﹣2（x+1）2化成一般形式后，一次项系数为（　　）

A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3

【考点】一元二次方程的一般形式．

【分析】根据完全平方公式和移项、合并同类项的法则把原方程变形，根据一元二次方程的一般形式解答即可．

【解答】解：方程3x2﹣x=﹣2（x+1）2变形为5x2+3x+2=0，

则一次项系数为3，

故选：D．

4．芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后的图形（实线部分）如图所示，将该图形补充四个边长为10cm的小正方形后，得到一个矩形，已知矩形的面积为2000cm2，根据图中信息，可得x的值为（　　）

A．10 B．20 C．25 D．30

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】根据矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程，通过解方程即可求得x的值．

【解答】解：依题意得：（x+10+20）（x+10+10）=2000，

解得x=20．

故选：B．

A．△AGD∽△CGF B．△AGD∽△DGC

C． =3 D． =

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】设AB=BC=AC=2a，根据等边三角形的性质得出AD⊥BC，BD=DC=a，由勾股定理求出AD=a，根据△DEF是等腰直角三角形的性质得出FC⊥DE，DC=CE=DF=a，求出AD∥FC，推出△AGD∽△CGF，再逐个判断即可．

【解答】（衡水中考数学）解：A、设AB=BC=AC=2a，

∵三角形ABC是等边三角形，AD是高，

∴AD⊥BC，BD=DC=a，

由勾股定理得：AD==a，

∵△DEF是等腰直角三角形，FC是高，

∴FC⊥DE，DC=CE=DF=a，

∴AD∥FC，

∴△AGD∽△CGF，故本选项错误；

B、不能推出△AGD∽△DGC，故本选项正确；

C、∵△AGD∽△CGF，AD=a，FC=a，

∴=（）2=3，故本选项错误；

D、∵△AGD∽△CGF，AD=a，FC=a，

∴==，故本选项错误；

故选B．

A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5）

【考点】位似变换；坐标与图形性质．

【分析】连接BF交y轴于P，根据题意求出CG，根据相似三角形的性质求出GP，求出点P的坐标．

【解答】解：连接BF交y轴于P，

∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），

∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），

∴CG=3，

∵BC∥GF，

∴==，

∴GP=1，PC=2，

∴点P的坐标为（0，2），

故选：C．

7．（衡水中考数学）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα=，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（　　）

A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm

【考点】解直角三角形的应用．

【分析】根据题意可知：△AEO∽△ABD，从而可求得BD的长，然后根据锐角三角函数的定义可求得AD的长．

【解答】解：如图：

根据题意可知：△AFO∽△ACD，OF=EF=30cm

∴，

∴

∴CD=72cm，

∵tanα=

∴

∴AD==180cm．

故选：B．

8．若点M（﹣3，a），N（4，﹣6）在同一个反比例函数的图象上，则a的值为（　　）

A．8 B．﹣8 C．﹣7 D．5

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】（衡水中考数学）设反比例函数解析式为y=，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=﹣3a=4×（﹣6），然后解关于a的方程即可．

【解答】解：设反比例函数解析式为y=，根据题意得k═﹣3a=4×（﹣6），

解得a=8．

故选A．

9．如图，在正方形ABCD中，AB=2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，点E在BC的延长线上，则阴影部分的面积为（　　）

A．6π﹣4 B．6π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8

【考点】扇形面积的计算．

【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由正方形的性质得出∠ACD=45°，根据S阴影=S扇形ACE﹣S△ACD即可得出结论．

【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB=2，

∴AC==4，∠ACD=45°．

∵点E在BC的延长线上，

∴∠DCE=90°，

∴∠ACE=45°+90°=135°，

∴S阴影=S扇形ACE﹣S△ACD=﹣×2×2=6π﹣4．

故选A．

A．D是劣弧的中点 B．CD是⊙O的切线

C．AE∥OD D．∠OBC=120°

【考点】（衡水中考数学）切线的判定．

【分析】证出∠BAD=∠EAD，由圆周角定理得出，得出选项A正确；由等腰三角形的性质得出∠ADO=∠BAD=25°，求出∠ODC=∠ADC﹣∠ADO=90°，得出CD⊥OD，证出CD是⊙O的切线，选项B正确；由圆周角定理得出∠BOD=2∠BAD=50°，证出∠BOD=∠BAE，得出AE∥OD，选项C正确；由已知条件得出∠OBC=130°，得出选项D不正确；即可得出结论．

【解答】解：∵∠BAD=25°，∠EAD=25°，

∴∠BAD=∠EAD，

∴，

∴D是的中点，选项A正确；

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠BAD=25°，

∴∠ODC=∠ADC﹣∠ADO=115°﹣25°=90°，

∴CD⊥OD，

∴CD是⊙O的切线，选项B正确；

∵∠BOD=2∠BAD=50°，∠BAE=25°+25°=50°，

∴∠BOD=∠BAE，

∴AE∥OD，选项C正确；

∵∠C=90°，

∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°≠120°，选项D不正确；

故选：D．

A．y=x2﹣1 B．y=x2+6x+5 C．y=x2+4x+4 D．y=x2+8x+17

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】根据图象左移加，右移减，图象上移加，下移减，可得答案．

【解答】解：A、y=x2﹣1，先向上平移1个单位得到y=x2，再向上平移1个单位可以得到y=x2+1，故A正确；

B、y=x2+6x+5=（x+3）2﹣4，无法经两次简单变换得到y=x2+1，故B错误；

C、y=x2+4x+4=（x+2）2，先向右平移2个单位得到y=（x+2﹣2）2=x2，再向上平移1个单位得到y=x2+1，故C正确；

D、y=x2+8x+17=（x+4）2+1，先向右平移2个单位得到y=（x+4﹣2）2+1=（x+2）2+1，再向右平移2个单位得到y=x2+1，故D正确．

故选：B．

12．（衡水中考数学）已知关于x的方程ax2+bx+c=0（a＞0，b＞0）有两个不相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】由抛物线的解析式可求出顶点的横纵坐标，结合已知条件即可判断抛物线y=ax2+bx+c的顶点所在象限．

【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0（a＞0，b＞0）有两个不相等的实数根，

∴b2﹣4ac＞0，

即b2＞4ac，

∵顶点的横坐标为﹣，纵坐标为，a＞0，b＞0，

∴﹣＜0，＜0，

∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第三象限，

故选C．

A．“抽出的图形是中心对称图形”属于必然事件

B．“抽出的图形是六边形”属于随机事件

C．抽出的图形为四边形的概率是

D．抽出的图形为轴对称图形的概率是

【考点】概率公式；轴对称图形；中心对称图形；随机事件．

【分析】由五张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆，其中抽出的图形为四边形的概率利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆中四边形是平行四边形、矩形，

所以抽出的图形为四边形的概率是，

故选C

14．2015年4月30日，苏州吴江蚕种全部发放完毕，共计发放蚕种6460张（每张上的蚕卵有200粒左右），涉及6个镇，各镇随即开始孵化蚕种，小李所记录的蚕种孵化情况如表所示，则可以估计蚕种孵化成功的概率为（　　）

累计蚕种孵化总数/粒	200	400	600	800	1000	1200	1400
孵化成功数/粒	181	362	541	718	905	1077	1263

A．0.95 B．0.9 C．0.85 D．0.8

【考点】利用频率估计概率．

【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．

【解答】解：∵，

∴蚕种孵化成功的频率约为0.9，

∴估计蚕种孵化成功的概率约为0.9，

故选B

15．（衡水中考数学）下列图形或几何体中，投影可能是线段的是（　　）

A．正方形 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】由于图形的投影是一个线段，根据平行投影与中心投影的规则对四个选项中几何体的投影情况进行分析找出正确选项．

【解答】解：A、正方形投影可能是线段，故选项正确；

B、长方体投影不可能是线段，故选项错误；

C、圆锥投影不可能是线段，故选项错误；

D、圆柱投影不可能是线段，故选项错误．

故选：A．

16．下列四个几何体中，左视图为圆的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定答案．

【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，

所以，左视图是圆的几何体是球．

故选：C

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

17．在力F（N）的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s（m），力F所做的功W（J）满足：W=Fs，当W为定值时，F=50N，s=40m，若F由50N减小25N时，并且在所做的功不变的情况下，s的值应　80　．

【考点】函数关系式．

【分析】根据功的公式，待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

【解答】解：由W=Fs，当W为定值时，F=50N，s=40m，得

W=50×40=2000，

当F=25时，s===80，

故答案为：80．

18．（衡水中考数学）现有一个正六边形的纸片，该纸片的边长为20cm，张萌想用一张圆形纸片将该正六边形纸片完全覆盖住，则圆形纸片的直径不能小于　40　cm．

【考点】正多边形和圆．

【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．

【解答】解：如图所示，正六边形的边长为20cm，OG⊥BC，

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠BOC==60°，

∵OB=OC，OG⊥BC，

∴∠BOG=∠COG==30°，

∵OG⊥BC，OB=OC，BC=20cm，

∴BG=BC=×20=10cm，

∴OB===20cm，

∴圆形纸片的直径不能小于40cm；

故答案为：40．

【考点】二次函数的应用．

【分析】设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为41﹣5（x﹣1.5）=48.5﹣5x，表示出总面积S=x（48.5﹣5x）=﹣5x2+48.5x，即可求得面积的最值．

【解答】解：设垂直于墙的长为x米，

则平行于墙的长为41﹣5（x﹣1.5）=48.5﹣5x，

∵墙长为38米，

∴48.5﹣5x≤38，即x≥2.1，

∵总面积S=x（48.5﹣5x）

=﹣5x2+48.5x

∴当x=﹣=4.85米时，S最大值==（平方米），

故答案为：．

20．（衡水中考数学）某圆锥的侧面展开图是一个半径为4cm的半圆，则该圆锥的底面半径为　2cm　．

【考点】圆锥的计算．

【分析】首先求得圆锥的侧面展开图的弧长，即圆锥的底面周长，然后根据圆周长公式即可求解半径．

【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长是：4πcm，设圆锥的底面半径是r，则2πr=4π，

解得：r=2cm．

则底面圆的半径为2cm．

故答案是：2cm．

三、解答题（本大题共6个小题，共66分）

21．按要求完成下列各小题．

（1）计算：tan230°+tan60°﹣sin245°；

（2）请你画出如图所示的几何体的三视图．

【考点】作图-三视图；特殊角的三角函数值．

【分析】（1）首先计算特殊角的三角函数，然后再计算实数的运算即可；

（2）分别利用几何体的组成结合三视图的画法得出不同角度观察得到三视图．

【解答】解：（1）tan230°+tan60°﹣sin245°，

=（）2+×﹣（）2，

=+3﹣，

=；

（2）如图所示．

22．（衡水中考数学）如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中，且AD∥x轴，点A的坐标为（﹣4，1），点D的坐标为（0，1），点B，P都在反比例函数y=的图象上，且P时动点，连接OP，CP．

（1）求反比例函数y=的函数表达式；

（2）当点P的纵坐标为时，判断△OCP的面积与正方形ABCD的面积的大小关系．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质．

【分析】（1）只需根据条件求出点B的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题；

（2）易求出OC的长，然后只需根据条件求出点P的横坐标，就可求出△OCP的面积，然后再求出正方形ABCD的面积，就可解决问题．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，A（﹣4，1），D（0，1），

∴OD=1，BC=DC=AD=4，

∴OC=3，

∴点B的坐标为（﹣4，﹣3）．

∵点B在反比例函数y=的图象上，

∴k=﹣4×（﹣3）=12，

∴反比例函数的表达式为y=；

（2）∵点P在反比例函数y=的图象上，点P的纵坐标为，

∴点P的横坐标为，

∴S△OCP=×3×=16．

∵S正方形ABCD=16，

∴△OCP的面积与正方形ABCD的面积相等．

23．（衡水中考数学）现有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，2，5，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字3，﹣5，﹣7；小宇从甲袋中随机摸出一个小球，记下数字为m，小惠从乙袋中随机摸出一个小球，记下的数字为n．

（1）若点Q的坐标为（m，n），求点Q在第四象限的概率；

（2）已知关于x的一元二次方程2x2+mx+n=0，求该方程有实数根的概率．

【考点】列表法与树状图法；根的判别式．

【分析】（1）首先根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与摸出的两个球上数字横坐标大于0，纵坐标小于0的可能情况，再利用概率公式求解即可；

（2）若一元二次方程2x2+mx+n=0，则其跟的判别式大于等于0，进而可求出该方程有实数根的概率．

【解答】解：（1）

	﹣1	2	5
3	（﹣1，3）	（2，3）	（5，3）
﹣5	（﹣1，﹣5）	（2，﹣5）	（5，﹣5）
﹣7	（﹣1，﹣7）	（2，﹣7）	（5，﹣7）

由表可知所有可能情况有9种，其中两个球上数字横坐标大于0，纵坐标小于0的可能情况有4种，所以点Q在第四象限的概率概率=；

（2）∵关于x的一元二次方程2x2+mx+n=0方程有实数根，

∴△≥0，

即m2﹣8n≥0，

∴m2≥8n，

由（1）可知满足条件的m，n组合共7对，

∴该方程有实数根的概率=．

24．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC，交⊙O于点D，交AC于点E，连接BD，BD交AC于点F，延长AC到点P，连接PB．

（1）若PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；

（2）如果AB=10，cos∠ABC=，求CE的长度．

【考点】切线的判定．

【分析】（衡水中考数学）（1）欲证明PB是⊙O的切线，只需推知∠ABP=90°即可；

（2）通过解直角三角形得到AC=8，易得OD垂直平分AC．则CE=AC=3．

【解答】（1）证明：如图，∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB．

又∵OD∥BC，

∴∠CBD=∠ODB．

∴∠CBD=∠OBD．

∵PF=PB，

∴∠PFB=∠PBF，

又∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB=90°，即∠BCF=90°，

∴∠PFB+∠CBD=90°，

∴∠PBF+∠OBD=90°．

又∵AB是直径，

∴PB是⊙O的切线；

（2）解：∵AB=10，cos∠ABC=，∠ACB=90°，

∴=，即=，

则AC=6．

又∵OD∥BC，点O是AB的中点，

∴OD垂直平分AC．则CE=AC=3．

25．（衡水中考数学）已知在△ABC中，∠BAC=90°，过点C的直线EF∥AB，D是BC上一点，连接AD，过点D分别作GD⊥AD，HD⊥BC，交EF和AC于点G，H，连接AG．

（1）当∠ACB=30°时，如图1所示．

①求证：△GCD∽△AHD；

②试判断AD与DG之间的数量关系，并说明理由；

（2）当tan∠ACB=时，如图2所示，请你直接写出AD与DG之间的数量关系．

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠GCM=∠BAC=90°，根据垂直的定义得到∠ADM=90°，于是求得∠GCA=∠ADM，推出∠DAH=∠∠CGD，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；

②根据相似三角形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论；

（2）根据相似三角形的性质得到，根据tan∠ACB=，即可得到结论．

【解答】（1）①证明：∵∠BAC=90°，EF∥AB，

∴∠GCM=∠BAC=90°，

∵GD⊥AD，

∴∠ADM=90°，

∴∠GCA=∠ADM，

∵∠AND=∠GMC，

∴DAH=∠∠CGD，

∵∠ADH=∠CDG=90°﹣∠HDG

∴△GCD∽△AHD；

②解：由①知：△GCD∽△AHD，

∴，

在Rt△DHC中，

∵∠ACB=30°，

=tan30°=，

∴=；

（2）5AD=4DG，

解：由①知△GCD∽△AHD，

在Rt△DHC中，

∵tan∠ACB=，

∴=．

26．（衡水中考数学）如图，抛物线y=ax2+2x﹣6与x轴交于点A（﹣6，0），B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线BD与抛物线交于点D，点D与点C关于该抛物线的对称轴对称．

（1）连接CD，求抛物线的表达式和线段CD的长度；

（2）在线段BD下方的抛物线上有一点P，过点P作PM∥x轴，PN∥y轴，分别交BD于点M，N．当△MPN的面积最大时，求点P的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得C、D点坐标，根据平行于x轴直线上两点间的距离是较大的小横坐标减较的横坐标，可得答案；

（2）根据待定系数法，可得BD的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得E点坐标，根据等腰三角形的性质，可得∠OBE=∠OEB=45°，根据平行线的性质，可得∠PMN=∠PNM=45°，根据直角三角形的判定，可得∠P，根据三角形的面积公式，根据二次函数的性质，可得a的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

【解答】解：（1）将A点坐标代入函数解析式，得

36a﹣12﹣6=0．

解得a=，

抛物线的解析式为y=x2+2x﹣6；

当x=0时y=﹣6．即C（0，﹣6）．

当y=﹣6时，﹣6=x2+2x﹣6，

解得x=0（舍），x=﹣4，即D（﹣4，﹣6）．

CD=0﹣（﹣4）=4，

线段CD的长为4；

（2）（衡水中考数学）如图，